常微分复习提纲

恰当方程#

将一阶微分方程写成对称形式 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

如果此时有 $\displaystyle\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}$，则该方程为恰当方程，并且可以表示为某函数 $u(x,y)$ 的全微分 $M(x,y)dx+N(x,y)dy \equiv du(x,y)$，通解为 $u(x,y)=c$

通解公式 $\displaystyle u=\int{M(x,y)\partial{x}}+\int{[N(x,y)-\frac{\partial}{\partial{y}}\int{M(x,y)\partial{x}}]dy}$

积分因子#

如果存在非零连续可微函数 $\mu(x,y)$ 使得 $\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$ 为恰当方程，则称 $\mu(x,y)$ 是方程的一个积分因子，此时可按照恰当方程来求解

1. 观察法：利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子
2. 公式法：积分因子必定满足 $\displaystyle\frac{\partial(\mu M)}{\partial{y}}=\frac{\partial(\mu N)}{\partial{x}}$
   1. 如果积分因子只与 $x$ 有关 $\displaystyle\frac{1}{N}(\frac{\partial{M}}{\partial{y}}-\frac{\partial{N}}{\partial{x}})=\varphi(x)$，此时 $\large\mu(x,y)=e^{\int{\varphi(x)dx}}$
   2. 如果积分因子只与 $y$ 有关 $\displaystyle-\frac{1}{M}(\frac{\partial{M}}{\partial{y}}-\frac{\partial{N}}{\partial{x}})=\psi(y)$，此时 $\large\mu(x,y)=e^{\int{\psi(y)dy}}$
3. 分组组合法

能解出 y 或 x 的方程#

1. $\displaystyle y=f(x,\frac{dy}{dx})$

   令 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=p$，则方程可参数化 $\begin{cases}x=x\\y'=p\\y=f(x,p)\end{cases}$

   把 $y=f(x,p)$ 代入到 $dy=pdx$，得 $\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{f}}{\partial{p}}dp=pdx$，求解之

   • 若得到 $p=\varphi(x,c)$，则代回 $y=f(x,p)$ 即得通解
   • 若得到 $x=\psi(p,c)$，则通解 $\begin{cases}x=\psi(p,c)\\y=f(\psi(p,c),p)\end{cases}$
   • 若得到 $\phi(x,p,c)=0$，则通解 $\begin{cases}\phi(x,p,c)=0\\y=f(x,p)\end{cases}$

2. $\displaystyle x=f(y,\frac{dy}{dx})$

   令 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=p$，然后两边同时对 $y$ 求导 $\displaystyle\frac{1}{p}=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}+\frac{\partial{f}}{\partial{p}}\frac{dp}{dy}$

   • 若得到 $p=\varphi(y,c)$，则代回 $x=f(y,p)$ 即得通解
   • 若得到 $\phi(y,p,c)=0$，则通解 $\begin{cases}x=f(y,p)\\\phi(y,p,c)=0\end{cases}$

不显含 y 或 x 的方程#

1. $F(x,y')=0$

   引入变换 $x=\varphi(t)$（或 $y'=\psi(t)$），带入原方程可以得到 $y'=\psi(t)$（或 $x=\varphi(t)$）

   $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}\Rightarrow dy=\psi(t)dx=\psi(t)d\varphi(t)=\psi(t)\varphi'(t)dt$

   积分之，得到通解 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\int\psi(t)\varphi'(t)dt+c\end{cases}$

2. $F(y,y')=0$

   引入变换 $y=\varphi(t)$（或 $y'=\psi(t)$），带入原方程可以得到 $y'=\psi(t)$（或 $y=\varphi(t)$）

   $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}\Rightarrow dx=\frac{dy}{\psi(t)}=\frac{d\varphi(t)}{\psi(t)}=\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt$

   积分之，得到通解 $\begin{cases}x=\displaystyle\int\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt+c\\y=\varphi(t)\end{cases}$

   若 $F(y,0)=0$ 有实根 $y=k$，则 $y=k$ 也是方程的解

利普希茨条件#

微分方程 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x,y)\ ,R:|x-x_0|\le a\ ,|y-y_0|\le b$

若存在常数 $L>0$ 满足 $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|\ ,(x,y_1)\ ,(x,y_2)\in R$

则称 $f(x,y)$ 在 $R$ 上关于 $y$ 满足利普希茨条件，$L$ 称为利普希茨常数

存在唯一性定理 1#

若 $f(x,y)$ 在 $R$ 上连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件

则方程 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 在区间 $|x-x_0|\le h$ 上存在唯一解 $y=\varphi(x)\ ,\varphi(x_0)=y_0$

其中 $\displaystyle h=\min(a,\frac{b}{M})\ ,M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|$

存在唯一性定理 2#

若 $F(x,y,y')$ 在 $(x_0,y_0,y_0')$ 的某邻域中对 $(x,y,y')$ 连续且存在连续偏导数，同时 $\displaystyle F(x_0,y_0,y_0')=0\ ,\frac{\partial}{\partial{y'}}F(x_0,y_0,y_0')\ne0$

则方程 $F(x,y,y')$ 存在唯一解 $y=\varphi(x)\ ,\varphi(x_0)=y_0\ ,\varphi'(x_0)=y_0'$

基本概念#

1. $n$ 阶线性微分方程

   • （非齐次）$x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(t)x'+a_n(t)x=f(t)$
   • （齐次）$x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(t)x'+a_n(t)x=0$

2. 朗斯基行列式（函数 $x_i(t)\ (i=1,\cdots,k)$ 在区间 $a\le{t}\le{b}$ 可微 $k-1$ 次）

   $W(t)=W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)]=\left|\begin{array}{cccc}x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_k(t)\\x_1'(t)&x_2'(t)&\cdots&x_k'(t)\\\vdots&\vdots& &\vdots\\x_1^{(k-1)}(t)&x_2^{(k-1)}(t)&\cdots&x_k^{(k-1)}(t)\end{array}\right|$

3. 线性相关

   $c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_kx_k(t)\equiv0$（$c_i$ 不全为零）

   否则称为线性无关

4. 基本解组

   $n$ 阶齐次线性方程组的一组 $n$ 个线性无关解

齐次线性方程#

1. 存在唯一性

2. 叠加原理：方程的 $k$ 个解的线性组合 $c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_kx_k(t)$ 也是方程的解

3. 定理：若函数 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 在区间 $a\le{t}\le{b}$ 上线性相关（或无关），则该区间上他们的朗斯基行列式恒等于零（或恒不为零）

4. 齐次线性方程的基本解组的朗斯基行列式恒不为零

5. 通解结构

   设齐次线性方程有基本解组 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$

   则通解可表示为 $x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)$

非齐次线性方程#

1. 存在唯一性

2. 若 $x(t)\ ,\overline{x}(t)$ 分别为“非齐次”与“齐次”的解，则 $x(t)+\overline{x}(t)$ 也是“非齐次”的解

   若 $x_1(t)\ ,x_2(t)$ 均为“非齐次”的解，则 $x_1(t)-x_2(t)$ 是“齐次”的解

3. 通解结构

   设 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 是“齐次”的一个基本解组，$\overline{x}(t)$ 是“非齐次”的一个特解

   则通解 $x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)+\overline{x}(t)$

4. 常数变易法

   已知“齐次”的一个基本解组 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 时

   $\begin{cases}x_1(t)c_1'(t)+x_2(t)c_2'(t)+\cdots+x_n(t)c_n'(t)=0\\x_1'(t)c_1'(t)+x_2'(t)c_2'(t)+\cdots+x_n'(t)c_n'(t)=0\\\quad\vdots\\x_1^{(n-1)}(t)c_1'(t)+x_2^{(n-1)}(t)c_2'(t)+\cdots+x_n^{(n-1)}(t)c_n'(t)=0\end{cases}$

   解出所有 $c_i'(t)$ 并得到 $c_i(t)$ 后可得解 $\displaystyle x=\sum\limits_{i=1}^n\gamma_ix_i(t)+\sum\limits_{i=1}^nx_i(t)c_i(t)$

复值函数和复值解#

设 $\alpha,\beta$ 为实数，$t$ 为实变量，则 $K=\alpha+i\beta$ 为复数

复指数函数定义为 $e^{Kt}=e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)$

$\overline{K}=\alpha-i\beta$ 为 $K$ 的共轭复数，有 $e^{\overline{Kt}}=\overline{e^{Kt}}$

常系数齐次线性方程的特征方程#

$L[x]\equiv x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}x'+a_nx=0$ 用 $x=e^{\lambda t}$ 带入

可得到特征方程 $F(\lambda)\equiv\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n=0$

1. $\lambda$ 为 $k$ 重实根时，方程有 $k$ 个解 $t^je^{\lambda t}\ (j=0,1,2,\cdots,k-1)$

   $e^{\lambda t},te^{\lambda t},t^2e^{\lambda t},\cdots,t^{k-1}e^{\lambda t}$

2. $\lambda=\alpha\pm i\beta$ 为 $k/2$ 重共轭复根时，方程有 $k/2$ 对共轭复值解，也就是一共 $k$ 个复值解

   每对为 $t^je^{\alpha t}\cos\beta t,t^je^{\alpha t}\sin\beta t\ (j=0,1,2,\cdots,k/2-1)$

得到基本解组 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 后，可写出通解 $x(t)=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_kx_k$

欧拉方程#

对于欧拉方程 $x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=0$

核心思想：引进自变量变换 $x=e^t$ 或 $t=\ln|x|$ 可化为常系数齐次线性微分方程 $y^{(n)}+b_1y^{(n-1)}+\cdots+b_{n-1}y'+b_ny=0$

解法：

1. 求特征方程 $F(k)$ 的特征根

   $F(k)=k(k-1)\cdots(k-n+1)+a_1k(k-1)\cdots(k-n+2)+\cdots+a_{n-1}k+a_n$

2. 得到基本解组，然后使用 $t=\ln|x|$ 变换得到原方程的基本解组

3. 得到原方程通解

常系数非齐次线性方程的比较系数法#

可降阶#

1. 方程不含未知函数 $x$，形如 $F(t,x^{(k)},x^{(k+1)},\cdots,x^{(n)})=0\ (1\le k\le n)$，则令 $y=x^{(k)}$，可降 $k$ 阶

   求得降阶后方程的通解后，逐次积分 $k$ 次即可得到原方程通解

2. 方程不含自变量 $t$，形如 $F(x,x',\cdots,x^{(n)})=0$，令 $y=x'$，可降低1阶

   $\displaystyle x^{(n)}=y^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}$ 全部带入原方程，分离变量，可得原方程解

3. 齐次线性方程已知 $k$ 个线性无关的非零特解 $x_1,x_2,\cdots,x_k$，可降低 $k$ 阶

   • 特别地，对于二阶齐次线性方程 $x''+p(t)x'+q(t)x=0$，已知非零特解 $x_1$

     通解为 $\displaystyle x=x_1[c_1+c_2\int{\frac{1}{x_1^2}e^{-\int{p(t)}dt}}dt]$

二阶线性方程的幂级数解（求特解）#

看不懂，这分我不要了（

基本概念#

$\displaystyle\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}(t)$

1. 如果 $\boldsymbol{f}(t)\ne0$ 则为非齐次线性的，$\boldsymbol{f}(t)\equiv0$ 则为齐次线性的

   若 $\boldsymbol{A}(t)$ 为常数矩阵，则称为常系数线性方程组

   $\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}\ \Rightarrow\ \boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$

2. 线性相关

   $c_1\boldsymbol x_1(t)+c_2\boldsymbol x_2(t)+\cdots+c_m\boldsymbol x_m(t)\equiv0$（$c_m$ 不全为零）

   否则它们（向量函数）线性无关

3. 基本解组

   $n$ 维一阶齐次线性方程组的一组 $n$ 个线性无关解 $\boldsymbol x_1(t),\boldsymbol x_2(t),\cdots,\boldsymbol x_n(t)$ 组成的矩阵 $\boldsymbol\phi(t)$

   当 $\boldsymbol\phi(0)=\boldsymbol E$（单位矩阵）时称基本解组为标准的

齐次线性方程组#

$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}$

1. 存在唯一性

2. 叠加原理

   方程组的 $k$ 个解 $\boldsymbol x_1(t),\boldsymbol x_2(t),\cdots,\boldsymbol x_k(t)$ 的线性组合 $c_1\boldsymbol x_1(t)+c_2\boldsymbol x_2(t)+\cdots+c_k\boldsymbol x_k(t)$ 也是方程的解，其中 $c_i$ 为任意常数

3. 如果向量函数 $\boldsymbol x_1(t),\boldsymbol x_2(t),\cdots,\boldsymbol x_n(t)$ 在某区间上线性相关（或无关），则他们的朗斯基行列式恒为零（或恒不为零）

   齐次线性方程组的基本解组的朗斯基行列式恒不为零

4. 通解结构

   设 $\boldsymbol\phi(t)$ 是齐次线性方程组的一个基本解组，则通解可以表示为

   $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\phi}(t)\boldsymbol{c}\equiv c_1\boldsymbol x_1(t)+c_2\boldsymbol x_2(t)+\cdots+c_n\boldsymbol x_n(t)$

   其中 $\boldsymbol{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n)^T$ 为任意常向量

5. 齐次线性方程组的 $n$ 个解 $\boldsymbol x_1(t),\boldsymbol x_2(t),\cdots,\boldsymbol x_n(t)$ 组成基本解组 $\boldsymbol\phi(t)$ 的充要条件为 $\det\boldsymbol\phi(t)\ne0$

   齐次线性方程组的两个基本解组 $\boldsymbol\phi(t),\boldsymbol\psi(t)$ 必有关系

   $\boldsymbol\phi(t)=\boldsymbol\psi(t)\boldsymbol C\ (a\le t\le b)\ ,\det\boldsymbol C\ne0$

非齐次线性方程组#

1. 存在唯一性

2. 若 $\boldsymbol x(t)\ ,\widetilde{\boldsymbol x}(t)$ 分别为“非齐次”与“齐次”的解，则 $\boldsymbol x(t)+\widetilde{\boldsymbol x}(t)$ 也是“非齐次”的解

   若 $\boldsymbol x_1(t)\ ,\boldsymbol x_2(t)$ 均为“非齐次”的解，则 $\boldsymbol x_1(t)-\boldsymbol x_2(t)$ 是“齐次”的解

3. 通解结构

   设 $\boldsymbol{\phi}(t)$ 是“齐次”的一个基本解组，$\widetilde{\boldsymbol x}(t)$ 是“非齐次”的某一特解，则通解可表示为

   $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\phi}(t)\boldsymbol{c}+\widetilde{\boldsymbol x}(t)$ 其中 $\boldsymbol{c}$ 为任意 $n$ 维向量

4. 常数变易法